✎☛ Raisonnement par équivalence

Méthode

On veut démontrer une propriété qui est une équivalence P ⇔ Q.
 Effectuer un raisonnement par équivalence, c'est :

• soit procéder par équivalences successives : si P ⇔ R et R ⇔ Q, alors P ⇔ Q ;
  
• soit procéder par double implication : on démontre l'implication directe P ⇒ Q et l'implication réciproque Q ⇒ P.
  

Énoncé 

Résoudre par équivalence l'équation \(x^2=9\).

Solution

On procède par équivalences successives.
\(x^2=9 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0 \Leftrightarrow x-3=0 \text{ ou } x+3=0\).
D'où \(x^2-9 \iff x=3 \text{ ou } x=-3\).
L'ensemble solution est \(S= \{-3\ ;\ 3\}\).

Remarque

Le raisonnement par équivalence permet d'éviter la vérification des solutions.